本次活動是一個每月一次的技術分享聚會，大家輪流提供主題並交流想法 [1]。我的分享主題是 Multi-task Learning 和 Transfer Learning，這兩種方法都涉及到使用「很多個不一樣的分類的 Task」 [1]。我的分享主要是基於一篇名為 "Model Inductive Bias Learning" 的論文，這篇論文的數學模型可以涵蓋 Multi-task Learning 和 Transfer Learning 這兩種學習範式 [1]。

我之所以想分享這個主題，是因為我認為當前許多深度學習研究存在一個嚴重的問題：大家過度專注於做實驗、追求分數上的提升，但卻往往無法真正解釋模型為什麼會表現更好 [1, 2, 4]。這篇論文提供了一個數學理論框架，可以解釋為什麼使用 Multi-task Learning 或 Transfer Learning 在某些情況下會比單一 Task 學習表現更優越 [1]。這強調了數學解釋的必要性，而非僅僅依賴於實驗結果 [1, 2, 4, 5]。這讓我深感，真正的研究應該是透過理論來解決問題，而不是像「抽樂透」一樣隨機嘗試各種設定 [4]。

在深入探討 Multi-task Learning 和 Transfer Learning 之前，我們需要先回顧單一 Task Learning 的基本設定，因為後兩者可以被視為單一 Task Learning 的延伸或特例 [6, 7]。

1. Data (資料):
   • 一般我們將資料定義為來自某個機率分佈 P 的有限訓練樣本 (X, Y) [6-8]。
   • X 是輸入 (Input)，Y 是對應的標籤 (Label) [6, 7]。
   • 我們擁有的訓練資料是有限的，總共有 M 個樣本 [6-8]。
   • 機率分佈 P 描述了輸入和標籤之間的機率關係 [6, 8]。我們從 P 中抽樣得到訓練資料 [6, 7]。
   • 機器學習的目標是利用有限的訓練樣本，訓練出一個模型，使其能夠在整個資料分佈 P 上有好的表現 [6, 7]。這是一個統計抽樣和泛化的問題 [6, 7]。
2. Hypothesis (假設):
   • Hypothesis (H) 是我們希望找到的一個函數，它可以根據輸入 X 來預測 Y [6, 7]。
3. Hypothesis Set (假設空間 $\mathcal{H}$):
   • Hypothesis Set 是所有可能的 Hypothesis 的集合 [6, 9, 10]。
   • 例如，對於一個神經網絡，其所有可能的參數組合所對應的函數就構成了 Hypothesis Set [6, 10]。
   • 這個集合通常是不可數的 (uncountable) [6, 10]。
   • 我們可以將其想像成一個巨大的空間，其中包含了模型所有可能的形態 [6, 10]。
4. Learning Algorithm (學習演算法):
   • 學習演算法的作用是從龐大的 Hypothesis Set 中選擇一個 Hypothesis (H) [6, 10]。
   • 訓練過程本質上就是一個不斷從 Hypothesis Set 中搜尋並挑選出合適參數組合（即 Hypothesis）的過程 [6, 10]。
5. Loss Function (損失函數):
   • Loss Function (L) 用來量化模型輸出 (H(X)) 與真實 Label (Y) 之間的差異 [6, 10]。
   • 在本次討論中，Loss Function 的定義是一個簡單的 0-1 Loss：如果模型輸出與真實標籤一樣則 Loss 為 0，不一樣則為 1 [6, 10]。
6. Empirical Risk (經驗損失):
   • Empirical Risk 是模型在所有有限的訓練樣本上的 Loss 的平均值 [6, 10-12]。
   • 它衡量了模型在訓練資料上的表現 [11, 12]。
7. Expected Risk (期望損失):
   • Expected Risk 是模型在整個資料分佈 P 上的平均 Loss [6, 11, 12]。
   • 這代表了模型在實際、未見過資料上的表現 [6, 11, 12]。
   • Expected Risk 通常無法直接精確計算，在數學理論中常用積分來表示 [6, 12]。
   • 在實際應用中，我們通常會使用測試資料 (Testing Data) 的 Loss 來估計 Expected Risk [6, 12]。
8. Generalization Gap (泛化差距):
   • Generalization Gap 是 Empirical Risk 與 Expected Risk 之間的差異 [6, 12, 13]。
   • 它量化了模型在訓練資料上表現良好，但在未見過資料上表現較差的情況，也就是過度擬合 (Overfitting) 的程度 [6, 12, 13]。
9. 泛化誤差公式 (或界限):
   • 存在一個泛化誤差公式，它給出了 Expected Risk 的一個上界 (非百分百成立，有一定機率) [6, 12, 14]。公式的簡化形式可能接近於：Expected Risk $\le$ Empirical Risk + $\text{sqrt}(\text{C} \cdot \text{log}(|\mathcal{H}|) / \text{M} + \text{log}(1/\delta) / \text{M})$ [6, 12]。
   • 其中，M 是訓練樣本數量，$|\mathcal{H}|$ 代表 Hypothesis Set 的複雜度 (可以用 VC Dimension 或 Covering Number 等概念衡量)，C 是常數，$\delta$ 是不等式不成立的機率 [6, 12-15]。
   • 這個公式的物理意義非常重要，它解釋了哪些因素會影響模型的泛化能力 [4, 6, 12]。
10. 公式的物理意義對入門者的啟示:
    • M (樣本數量): 公式中的 M 在分母項，M 越大，$\text{sqrt}(\dots / \text{M})$ 這項就越小，泛化差距隨之減小 [4, 6, 8, 12]。這說明訓練樣本越多，模型越不容易 Overfitting [4, 6, 8]。從實務上看，這是一個非常有力的論點，可以用來說服老闆增加資料收集，因為資料量是改善模型泛化能力的最直接因素之一 [4, 6, 8]。
    • $|\mathcal{H}|$ 或 VC Dimension (模型複雜度): 公式中的 $|\mathcal{H}|$ 或其相關的複雜度度量 (如 VC Dimension 或 Capacity) 在分子項的 log 裡面 [4, 6, 13, 15]。Hypothesis Set 越大（模型越複雜），這項值越大，導致泛化差距越大，越容易 Overfitting [4, 6, 8, 13, 14]。這解釋了為什麼在訓練資料量較小時，不應該使用過於龐大或過於複雜（例如非常深的神經網絡）的模型 [6, 14]。選擇合適的模型複雜度是避免 Overfitting 的關鍵策略之一 [8]。
    • $\delta$ (不滿足不等式的機率): $\delta$ 越小（我們希望不等式成立的機率越高，即對結果越有信心），$\text{log}(1/\delta)$ 這項就越大，導致泛化差距越大 [6, 14]。這項提醒我們，即使是基於理論的實驗結果，也可能存在偶然性或運氣成分 [6, 14]。理論的證明更為重要，因為它提供了在大多數情況下成立的保證，而不是僅僅依賴於特定資料集的抽樣結果 [6, 14]。

Multi-task Learning 和 Transfer Learning 都可以視為 Model Inductive Bias Learning 框架下的特例 [16-18]。這個模型嘗試類比人類持續學習的能力，希望 AI 也能夠學習新事物，並將舊知識推廣到新問題上 [16]。它考慮的範疇比單一任務更廣泛，模型面對的不是單一一個 P 分佈，而是一個包含所有可能學習問題的「環境」 [16, 17]。

1. Environment (環境, Q):
   • Inductive Bias Learning 模型引入了 Environment (Q) 的概念 [11, 16, 18]。
   • Q 不是一個簡單的資料分佈，而是一個機率分佈的機率分佈 (Distribution over Distributions) [11, 16, 18, 19]。換句話說，Q 是所有可能的學習問題（Task, 以 P 表示）的機率分佈集合 [11, 16, 18]。
   • 我們可以從 Environment Q 中抽取一個 Task P，這個 P 就代表一個特定的學習問題（比如手寫數字辨識 P1，貓狗分類 P2 等） [11, 16]。Q 裡面可能包含無限多個這樣的 Task (P) [16]。
2. Hypothesis Space Family (假設空間族, $\mathbb{H}$):
   • 這個模型也引入了 Hypothesis Space Family ($\mathbb{H}$) 的概念 [13, 16, 17, 20]。
   • 如果將神經網絡分為前端的 Feature Extractor (F) 和後端的 Classifier (G)，一個 Hypothesis Space (H) 可以由固定的 Feature Extractor 和所有可能的 Classifier 組合而成 [16, 17, 20]。例如，固定 F1 後，搭配所有可能的 G1, G2... 形成 Hypothesis Space H1 [16, 17, 20]。
   • Hypothesis Space Family ($\mathbb{H}$) 則是不同 Feature Extractor 所產生的 Hypothesis Space 的集合 [13, 16, 17, 20]。換句話說，$\mathbb{H} = \{H_1, H_2, \dots\}$，其中每個 $H_i$ 對應於一個特定的 Feature Extractor $F_i$ [20]。
   • 可以將選擇一個好的 Feature Extractor (F) 的過程，類比為從 Hypothesis Space Family ($\mathbb{H}$) 中選擇一個好的 Hypothesis Space (H) [16, 17, 21]。
3. Inductive Bias Learning 的過程與目標:
   • 從 Environment Q 中抽取有限個 Task ($P_1$ 到 $P_n$) 作為訓練 Task [16, 21]。
   • 每個訓練 Task $P_i$ 又有有限個訓練樣本 ($M_i$) [16, 21]。
   • Inductive Bias Learning 的核心是從 Hypothesis Space Family ($\mathbb{H}$) 中選擇一個好的 Hypothesis Space (例如，學習或選擇一個好的 Feature Extractor)，使得在這個選定的空間中，後續可以找到好的 Hypothesis 來解決從 Q 中抽取的 Task (包括未見過的新 Task) [16, 19, 21]。
   • 這個模型的訓練誤差可以定義為在所有訓練 Task 上的 Empirical Risk 的平均值 [16, 19]。
   • 真實誤差 (Expected Risk) 則是在整個 Environment Q 上的期望表現 [16, 19]。目標是學習到的模型能夠有效地推廣到 Q 中的新 Task 和新資料 [16, 19]。
   • 泛化差距衡量了模型從有限的訓練 Task 和資料泛化到整個 Environment Q 的能力 [15, 16, 19]。

遷移學習是 Model Inductive Bias Learning 的一個非常常見的應用模式和特例 [17, 18, 22]。

1. 基本概念與流程:
   • 遷移學習的核心思想是將在一個或多個來源任務 (Source Task) 上學習到的知識，應用到一個目標任務 (Target Task) 上 [22, 23]。
   • 通常分為兩個主要階段 [3, 13, 22-24]:
     • Pre-train (預訓練): 在一個大型資料集或與目標任務相關的來源任務上訓練模型的前端部分 (Feature Extractor) [3, 22, 23]。例如，在 ImageNet 上訓練一個圖像分類模型的前端部分 [9, 15, 23, 25]。即使來源任務（如 ImageNet 的 1000 類分類）並非我們的最終目標，其大量的資料有助於訓練出一個泛化能力較好的 Feature Extractor [3, 22, 23]。
     • Target Task / Fine-tune (微調) 或 Fix Weight (固定權重): 將預訓練好的 Feature Extractor 用於解決目標任務 [3, 22, 23]。目標任務通常資料量較小 [23]。後端的 Classifier 部分是新的，需要重新訓練 [3, 22, 23]。
       • Fixed Weight: 固定 Pre-train 好的 Feature Extractor 的權重不變，只訓練後端新的 Classifier [3, 13, 22, 23]。
       • Fine-tune: 使用 Pre-train 好的權重作為初始化，然後在 Target Task 的資料上微調整個模型（包括 Feature Extractor 的部分權重）[13, 22, 23]。
2. 與 Inductive Bias Learning 的關聯與泛化能力解釋:
   • 在 Inductive Bias Learning 框架下，Transfer Learning 可以理解為：先透過在某些 P 分佈（來源 Task）上 Pre-train，從 Hypothesis Space Family ($\mathbb{H}$) 中選定或學習到一個好的 Hypothesis Space (即一個好的 Feature Extractor F) [17, 18, 24]。
   • 然後，在 Target Task (新的 P 分佈) 上，我們將 Feature Extractor F 固定住（或僅微調少量參數），主要訓練後端的 Classifier G [3, 22, 23]。
   • 從泛化誤差公式的角度看，固定 Feature Extractor 意味著我們在 Target Task 上選擇的 Hypothesis Space ($H_F$) 相對於整個 Hypothesis Space Family ($\mathbb{H}$) 要小得多 [17, 21, 24-26]。Hypothesis Space 變小，模型的複雜度 (Model Capacity) 降低 [17, 21, 25, 26]。
   • 根據單一 Task Learning 的泛化誤差公式，模型複雜度越低，達到相同泛化能力所需的訓練樣本 M 就越少 [4, 6, 8, 14, 21, 24, 25]。這解釋了為什麼 Transfer Learning (特別是使用固定權重的方法) 在目標任務資料量較少時依然能表現良好，並且不容易 Overfitting [23, 25]。
   • 預訓練在大型資料集（如 ImageNet，Task 數量多，n 大）上得到的 Feature Extractor 之所以通用且有效，是因為訓練 Task 的數量夠多 (n 夠大)，有助於學習到能夠泛化到新 Task 的通用特徵表示 [9, 15, 23]。
   • 但任務之間的相關性也很重要 [9]。如果 Pre-train 的 Task (如中文文字分類) 與 Target Task (如 Pikachu 圖像分類) 分佈差異過大 (Environment Q 極不平均)，即使進行 Transfer Learning，效果也可能很差 [9, 27, 28]。
3. 實際應用案例:
   • 圖像識別領域非常常見，如使用在 ImageNet 上預訓練的 CNN 模型處理其他圖像分類、目標檢測等任務 [3, 22, 23]。
   • 自然語言處理領域也是如此，如使用預訓練好的 Word Embedding (例如 Google 提供的) 或大型語言模型 (如 BERT, GPT 等) 的詞向量或中間層表示，來解決下游的 NLP 任務 [3, 22]。

多任務學習也被視為 Model Inductive Bias Learning 的一個特例 [17, 18, 22]。

1. 基本概念與流程:
   • 多任務學習是指同時訓練一個模型來解決多個相關的 Task [11, 22, 23]。
   • 其常見的實現機制是共享模型的前端部分 (Feature Extractor)，而後端則為每個 Task 設置獨立的分類器 (Classifier) [11, 22, 23, 25]。所有的 Task 都共用同一個 Feature Extractor [22, 25]。
   • 例如，手寫數字分類 (0-9) 可以看作一個多任務學習的特例：前端共享一個 Feature Extractor，後端接 10 個分類器，每個分類器判斷輸入是否為對應的數字 [21, 22]。多類別分類 (Multiclassing) 其實也是一種 Multi-task Learning 的特例 [22]。
2. 與 Inductive Bias Learning 的關聯與泛化能力解釋:
   • 在 Inductive Bias Learning 框架下，Multi-task Learning 可以看作是同時處理從 Environment Q 中抽取的N 個已知 Task ($P_1$ 到 $P_N$)，並共用一個 Hypothesis Space (對應於一個共享的 Feature Extractor F) [17, 18, 25]。我們目標是在這個共享的 Hypothesis Space 中，為每個 Task 找到最好的 Hypothesis (訓練出各 Task 的 Classifier) [25]。
   • 多任務學習的泛化能力分析會考慮到 Task 的數量 (n) 和每個 Task 的樣本數量 (m) [17, 29]。
   • 理論分析表明，在某些情況下，增加 Task 的數量 (n) 可以幫助減少每個 Task 所需的資料數量 (m) [11, 23, 29]。這是因為不同 Task 之間可以通過共享 Feature Extractor 來相互學習、傳遞知識，從而提高學習效率和泛化能力 [11, 23, 29]。
   • 然而，這種益處並非絕對 [17, 29]。泛化能力的提升程度取決於多個因素，包括 Task 之間的相關性以及模型複雜度隨 Task 數量增加的比例 [17, 29]。如果增加 Task 數量導致模型複雜度以一個較大的比例增加，那麼可能對減少每個 Task 所需的資料量幫助不大，甚至沒有幫助 [17, 29]。
3. 實際應用案例:
   • 生物學領域：將預測不同藥物抗藥性視為不同 Task，利用多任務學習來利用不同種類的資料，提高模型準確度 [9, 27]。
   • 語音辨識：在訓練特定語句辨識模型時，加入其他無關的音素資料一起訓練，可以提升效果，這印證了 Task 數量增加有助於泛化 [9, 27]。

從這次分享的內容可以看出，理解模型背後的數學理論，特別是像 Model Inductive Bias Learning 這樣的泛化誤差分析，對於實際的深度學習研究和應用具有非常重要的意義 [1, 2]。

1. 提供解釋與證明: 理論研究可以為模型行為和泛化能力提供解釋和嚴謹的數學證明 [1, 2, 4, 6, 14]。這幫助我們理解為什麼某些方法有效，以及它們在哪種條件下有效 [2]。例如，泛化誤差公式解釋了資料量、模型複雜度和泛化能力的定量關係 [4, 6, 8, 14]。
2. 指導模型設計與改進: 數學理論可以為模型設計和改進提供明確的指導方向，而不是僅僅依賴於實驗試誤 [1, 2, 4, 5]。有了理論依據，我們可以更合理地決定是否需要更多資料、選擇什麼樣的模型結構（複雜度）以及如何設計更有效的學習框架（如是否使用 Multi-task 或 Transfer Learning） [2, 4]。這有助於將機器學習研究從「抽樂透」式的實驗轉變為更具系統性和科學性的探索 [4, 5]。
3. 預測模型行為: 理論可以幫助我們預測模型在不同情況下的表現 [4, 6, 14]。例如，當遇到資料量很小的問題時，理論告訴我們使用過於複雜的模型可能會導致嚴重的 Overfitting [6, 14]。
4. 超越經驗法則: 雖然許多經驗法則在實務中有效，但理論提供了更深層次的原因 [2, 4]。例如，Transfer Learning 中固定 Feature Extractor 的做法，理論上可以解釋為限制 Hypothesis Space，降低模型複雜度，從而減少對目標任務資料量的需求 [17, 21, 23-26]。

歷史上也多次顯示了理論與實驗結合的重要性 [5, 30]。早期神經網絡的興起與低谷，以及與統計學習理論和 SVM 的競爭，都說明了僅有實驗或僅有理論的局限性 [5, 30, 31]。雖然近年來 GPU 發展導致實驗性研究佔主導地位 [9, 30, 32]，但已經出現了回歸理論研究的趨勢 [5, 9, 30, 32]。面對當前複雜的深度學習模型，VC Dimension 等早期理論可能不再完全適用，需要 PAC-Bayes、Information Theory 等新的理論框架來解釋和指導模型設計 [9, 13, 30, 32, 33]。

總結來說，Multi-task Learning 和 Transfer Learning 這兩種強大的深度學習技術，都可以透過 Model Inductive Bias Learning 這個數學框架來理解其泛化能力的來源 [1, 17, 18]。泛化誤差公式，無論是在單一任務還是更廣泛的框架下，都清晰地揭示了資料數量、模型複雜度以及 Task 數量等關鍵因素如何影響模型的表現 [4, 6, 8, 14, 17, 29]。對於剛入門的研究者來說，理解這些理論基礎，可以幫助我們更有方向地進行實驗設計和模型選擇，而不會僅僅停留在調整超參數和嘗試不同架構的層面 [1, 2, 4]。

本次分享希望能拋磚引玉，鼓勵大家在實踐的同時，也能多關注機器學習背後的數學理論研究。這將有助於我們不僅知道「怎麼做」，更能理解「為什麼這樣做」，從而推動領域的進步 [1, 2, 4, 5]。雖然本次分享涉及的理論較深，但透過林軒田老師的課程等資源打好基礎，相信大家都能逐步深入，體會理論的魅力 [1, 6, 7, 27, 34]。