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第十六章深度學習中的結構化機率模型

017/10/27, Structured Probabilistic Models @ Deep Learning Book Chapter 16

深度學習中的結構化機率模型與圖模型

1. 核心概念與定義

結構化機率模型 (Structured Probabilistic Model)，也稱 圖模型 (Graphical Model)，其核心思想是使用圖 (graph) 來描述機率分佈中多個隨機變數之間的直接相互作用 [1-9]。
圖中的節點代表隨機變數 [1, 2, 4-6]，而邊則表示這些變數之間的直接依賴或相互作用 [1, 2, 4-9]。
圖模型之所以得名，是因為其結構是由圖來定義和可視化的 [4, 6]。

2. 非結構化建模的挑戰與結構化模型的優勢

非結構化機率建模在處理高維數據時面臨嚴重的計算挑戰，即維度災難 [2, 7, 9-14]。
維度災難體現在：
- 內存開銷巨大：儲存完整的聯合機率分佈表需要指數級的記憶體 [2, 7, 10, 11]。
- 統計效率低下：參數數量龐大，需要指數級增長的訓練數據量 [7, 10, 11, 13]。
- 運行時間成本高昂：計算推斷任務（如邊緣或條件機率）和從分佈中採樣的計算量呈指數級增長 [2, 7, 9-11, 13, 14]。
結構化機率模型通過顯式描述變數子集間（通常是稀疏的）相互作用，用較少參數對複雜依賴關係建模 [7, 9, 11, 13, 15, 16]，顯著降低表示、學習和推斷的成本 [1, 11, 13, 17]。
結構化模型的其他優勢包括：允許融入先驗知識 [11, 13]、提供模組化和可解釋性 [11, 13]、為開發高效算法提供基礎 [11, 13]。

3. 圖模型的種類與表示

圖模型主要分為兩大類：有向圖模型和無向圖模型 [7, 8, 18, 19]。

有向圖模型 (Directed Graphical Model / Bayesian Network / Belief Network)

使用有向無環圖 (DAG) 表示變數間的條件依賴關係或因果關係 [3, 8, 17, 19]。

聯合機率分佈分解：分解為每個變數在其父節點條件下的局部條件機率分佈的乘積： **p(x) = Π_i p(x_i

Pa_G(x_i))** [2, 15, 17, 19]。

優勢：大大減少了所需的參數數量和計算複雜度 [2, 15, 17, 19]。

無向圖模型 (Undirected Graphical Model / Markov Random Field / Markov Network)
- 使用無向圖表示變數間的對稱相互作用或關聯，不指定因果方向 [2, 3, 8, 18-21]。
- 適用場景：適合描述變數間依賴是對稱的情況，如物理系統或圖像像素鄰域的關聯 [2, 18, 19, 21]。
- 團 (clique)：圖中任意兩節點間都有邊連接的節點子集 [2, 3, 19-22]。
- 因子 (factor) / 勢函數 (potential function) φ(C)：定義在圖的團 C 上的非負函數 [2, 3, 19-22]。
- 聯合機率定義：未歸一化機率 p̃(x) 定義為所有團上因子的乘積： p̃(x) = Π_{C∈G} φ(C) [2, 19-22]。
- 配分函數 (partition function) Z：用於歸一化未歸一化機率的常數，Z = Σ_x p̃(x) [2, 3, 19, 22]。
- 計算難題：配分函數 Z 的計算通常很困難，因需要對所有狀態求和/積分，呈指數級增長 [2, 19, 22, 23]。這使無向模型的精確學習和推斷具有挑戰性 [2, 19, 22, 23]。
基於能量的模型 (Energy-Based Model, EBM)
- 一種無向圖模型框架，未歸一化機率與能量函數 E(x) 的負指數成正比： p̃(x) = exp(-E(x)) [2, 3, 17, 19, 24]。
- 學習目標是調整 E(x)，使期望狀態能量低（機率高），非期望狀態能量高（機率低） [2, 17, 19, 24]。
- 玻爾茲曼機 (Boltzmann Machine) 是一種早期 EBM [2, 3, 18, 19, 24, 25]。專家乘積 (product of experts) 是另一種 EBM [3, 18, 24, 26]。
因子圖 (Factor Graph)
- 一種二分圖，通過顯式引入因子節點更精確表示因式分解結構，有助於消息傳遞算法 [3, 18, 19, 27, 28]。

4. 條件獨立性判斷：分離與 d-分離

無向模型中的分離 (Separation)：在給定集合 S 時，若 A 到 B 的所有路徑被 S 中節點阻斷，則 A 和 B 在給定 S 時條件獨立 [3, 27, 29]。
有向模型中的 d-分離 (d-Separation)：判斷條件獨立性時考慮邊方向和「對撞」結構 [3, 17, 27, 29]。
- 對撞 (collider) / V-結構 (i → m ← j)：節點 m 同時是 i 和 j 的子節點 [3, 17, 27, 29]。
- 特殊規則：對撞節點 m 若未被觀察，則路徑阻斷；若 m 或其後代被觀察，路徑則暢通，可能使原本獨立的父節點變得相關 [17, 27, 29, 30]。

5. 圖模型間的轉換

有向到無向 (Moralization)：處理「不道德結構」（無直接連接的父節點指向同一個子節點） [3, 27, 29]。道德化過程包括連接共同子節點的父節點並去掉箭頭 [3, 27, 29]，得到道德圖 [27]。
無向到有向：通常更複雜，需定向邊而不引入新的有向圖獨立性 [27, 29]。弦圖 (chordal graph) 轉換較容易，通過弦化 (triangulation) 實現 [27, 29]。

6. 從圖模型中採樣

有向模型：通常使用原始採樣 (Ancestral Sampling)，按拓撲排序從條件分佈依次採樣 [3, 18, 31, 32]。
無向模型：通常使用近似採樣，因精確採樣困難 [3, 18, 31]。Gibbs 採樣是一種 MCMC 方法，迭代地從每個變數在給定其他變數下的條件分佈中採樣 [3, 18, 31-33]。

7. 學習依賴關係與潛變數

潛變數 (Hidden Variables) h：模型中未觀察到的變數，用於建模可見變數 v 間的複雜依賴關係、學習抽象表示或簡化計算 [3, 16, 18, 31, 34-36]。
結構學習 (Structure Learning)：從數據中學習圖模型的圖結構 [3, 18, 31, 33]。深度學習通常不直接學習稀疏連接，而是使用固定結構和正則化等間接方式 [18, 31]。

8. 推斷與近似推斷

推斷 (Inference)：計算未觀察變數（特別是潛變數 h）在給定觀察變數 v 下的**後驗機率分佈 p(h

v)** 或其期望值 [2, 3, 14, 18, 23, 34, 35, 37, 38]。

精確推斷 (Exact Inference)：對於許多複雜模型是難以處理的 (intractable) (#P-hard)，因計算歸一化常數（分母 p(v)）需對所有潛變數配置進行指數級求和或積分 [2, 3, 23, 34, 35, 37]。
近似推斷 (Approximate Inference)：當精確推斷不可行時使用，旨在尋找後驗分佈的良好近似，例如置信傳播 (Belief Propagation) [3, 16, 18, 26, 36]、變分推斷 (Variational Inference) [35, 37]。

9. 實例：受限玻爾茲曼機 (Restricted Boltzmann Machine, RBM)

結構：一種無向圖模型 (EBM)，有一層可見單元 v 和一層隱藏單元 h，形成二分圖結構（層內無連接） [3, 18, 25, 34, 39]。
能量函數：通常為 E(v,h) = -b^T v - c^T h - v^T W h [3, 25, 34, 39]。
計算優勢（源於二分圖結構）：
- 條件獨立性：給定一層（v 或 h），另一層的單元是條件獨立的 [3, 34, 39]。
- 高效 Gibbs 採樣：可並行對一層單元進行塊 Gibbs 採樣 [3, 34, 39]。
- 易於計算的梯度 [3, 34, 39]。

用於學習數據的表示 E_{h~p(h

v)}[h] [3, 34, 40]。早期曾用於深度學習模型的預訓練或初始化，但目前較少使用 [18, 34, 41]。

第十六章 深度學習中的結構化機率模型